Devoir n°7
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Lundi 21 mai 2001 1ère S3

DEVOIR de MATHEMATIQUES (2h)
(Calculatrice autorisée)

Exercice 1 (3 points)

1°) Simplifier

2°) Résoudre dans R l’équation : .

3°) Résoudre dans [0 ;2p [ l’équation : .

 

Exercice 2 (6 points)

Soit (C) un cercle de centre O et de diamètre [AB] et k un nombre réel différent de 0 et de –1.

1°) Soit G le barycentre des points (A ;k) et (B ;1).

  1. Justifier l’existence du point G.
  2. Pour faire la figure uniquement, on prendra le cas où k = –3. (Prendre : AB = 12 cm)

2°) Soit M un point du cercle (C) distinct de A et de B, on note N le point diamétralement opposé à M sur le cercle (C).

On note M’ le point d’intersection des droites (GM) et (AN).

  1. Quel est la nature du quadrilatère AMBN ? Justifier.
  2. Exprimer en fonction de et en déduire en fonction de .
  3. En déduire que M’ est l’image de M par une homothétie dont on donnera le centre et le rapport en fonction de k.

3°) Quel est l’ensemble des points M’ lorsque le point M décrit le cercle (C) privé de A et de B ?

Le dessiner sur la figure précédente.

 

Exercice 3 (4 points)

Soit u et v les deux suites numériques définies par :

un = n2 – 4n pour tout nÎ N et

1°) Calculer et représenter graphiquement (dans deux repères différents) les 5 premiers termes de chacune des suites u et v.

2°) D’après les calculs et les graphiques précédents que peut-on supposer pour la monotonie et la convergence des suites u et ? (on ne demande pas de démontrer mais juste d’expliquer vos réponses)

 

Exercice 4 (7 points)

Etudier les variations et les limites de la fonction définie sur R\{–1} par :

On dressera le tableau de variation complet ainsi que la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (unité 1 cm) et l’on précisera notamment les équations des différentes droites asymptotes à la courbe (C) ainsi que les équations des tangentes à (C) aux points d’abscisses respectives x = –2, x = 0 et x = 2.