DEVOIR n°6
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Lundi 26 mars 2001 1ère S3

Devoir de Mathématiques (2h)
(Calculatrice non autorisée)

 

I/ Etude d’une fonction. (12 points)

Soit f la fonction définie sur R\{-2} par :

et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ;).

1°) Etudier les limites de f en -¥ , en +¥ et en –2.

En déduire que la courbe (C) admet une asymptote (D).

2°) Déterminer trois réels a, b et c tels que : pour tout x de R\{-2}.

En déduire que la courbe (C) admet une deuxième asymptote (D ) et déterminer la position de (C) par rapport à (D ).

3°) Déterminer le point d’intersection des droites (D) et (D ).

4°) Démontrer que le point A(-2 ; -4) est un centre de symétrie pour la courbe (C).

5°) Déterminer la fonction dérivée f’ de la fonction f.

6°) Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d’abscisse x = -1.

7°) Résoudre l’équation : x2 + 4x – 5 = 0.

8°) Résoudre l’inéquation : f’(x) ³ 0.

9°) Sachant que les variations de la fonction f sont les suivantes :

wpe1.jpg (4174 octets)

Recopier et compléter le tableau

10°)Tracer la courbe (C) et les droites (D), (D ) et (T). (unité : 1 cm)

 

II/ Homothéties. (4 points)

Soit un triangle ABC. On note I le milieu de [AB] et G le barycentre des points {(A ;2) ; (B ;2) ; (C ;-1)}.

1°) Démontrer que les points I, G, C sont alignés.

2°) Faire une figure.

3°) A tout point M du plan on associe le point M’ définie par : .

Démontrer que les points G, M et M’ sont alignés.

4°) Soit h l’homothétie de centre G et de rapport –2.

  1. Tracer l’image du triangle ABC par l’homothétie h.
  2. Démontrer que h(M) = M’
  3. Quel ensemble décrit le point M’ lorsque M décrit le cercle de diamètre [AB].

 

III/ Trigonométrie. (5 points)

1°) Calculer en justifiant : et

2°) Résoudre dans [0 ;2p [ : 2sin 4x= 0.

 

Remarque : le barème est sur 21 …