DEVOIR n° 4
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Mercredi 31 janvier 2001 1ère S3

DEVOIR DE MATHEMATIQUES (1h30)
(Calculatrice non autorisée)

 

I/ Composées de fonctions (7 points)

Soient les fonctions f et g définies par : f(x) = x2 – 2x + 3

g(x) = + 2

1°) Etude de f et de g.

  1. Déterminer les éléments caractéristiques de f et dresser son tableau de variations.
  2. Déterminer les éléments caractéristiques de g et dresser son tableau de variations.

2°) Etude de fo g.

  1. Déterminer le domaine de définition de la fonction fo g.
  2. Résoudre l’équation g(x) = 1.
  3. Déterminer les variations de fo g sur les intervalles I1 = ]-¥  ; -1[, I2 = ]-1 ; 0[ et I3 = ]0 ; +¥ [.
  4. Dresser le tableau de variations complet de fo g.

3°) Etude de go f.

  1. Déterminer le domaine de définition de la fonction go f.
  2. Déterminer les variations de go f sur]-¥  ; 1[ puis sur ]1 ; +¥ [.
  3. Dresser le tableau de variations complet de go f.

 

II/ Limites (3 points)

Déterminer, en justifiant, la limite de en 0 et en +.

 

III/ Lignes de niveau (5 points)

Soient A et B deux points du plan tels que AB = 5.

Soit f l’application qui à tout point M du plan associe le nombre : f(M) = MA2 + 4MB2.

1°) Soit G le barycentre des points pondérés (A ; 1) et (B ; 4).

Construire en justifiant le point G.

2°) Calculer f(G).

3°) Démontrer que, pour tout point M du plan, on a : f(M) = 5MG2 + f(G).

4°) a) En déduire la nature de l’ensemble des points M du plan tels que : f(M) = 100 et le tracer.

b) Plus précisément, en déduire, suivant les valeurs de k, la nature et les caractéristiques de l’ensemble des points M du plan tels que : f(M) = k.

 

IV/ Trigonométrie (5 points)

Sachant que :

Déterminer, en justifiant, la valeur exacte de : , , et .