DEVOIR n°3
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Lundi 20 novembre 2000 1ère S3

DEVOIR DE MATHEMATIQUES (2h)
(Calculatrice non autorisée)

 

I/ Equation et inéquation.

1°) Soit P(x) = 2x4 – 3x2 – 2

Résoudre l’équation P(x) = 0 puis factoriser P(x).

2°) Résoudre l’inéquation :

 

II/ Paraboles.

Le plan est muni d’un repère orthonormal (O ;) (unité graphique 1 cm)

1°) Soit P1 la parabole d’équation : y = ax2 + bx + c dans le repère (O ;).

Déterminer les réels a, b et c tels que P1 passent par les points A(1 ; 3), B(-1 ; -3) et C(-2 ; 0) du plan.

2°) Soit le point S(2 ;6) dans le repère (O ;) et P2 la parabole d’équation : Y = –X2 dans le repère (S ;).

Déterminer une équation de P2 dans le repère (O ;).

3°) Déterminer les points d’intersection et la position relative des paraboles d’équations respectives:

y = 2x2 + 3x – 2 et y = -x2 + 4x + 2.

4°) Tracer les paraboles P1 et P2 dans le même repère.

 

III/ Optimisation.

Soit un triangle ABC rectangle en A tel que : AB = 6 et AC = 8 (en centimètres).

A tout point M du segment [BC] on fait correspondre le point P de [AB] et le point Q de [AC] tels que APMQ soit un rectangle.

Le but de l’exercice est de trouver où placer le point M pour que l’aire du rectangle construit soit maximale.

1°) Faire une figure en prenant BM = 2. Dans la suite du problème, M représentera un point quelconque du segment [BC].

2°) On note x la distance BM (en cm). A quel intervalle I doit appartenir ?

3°) Démontrer que : QM = 0,6(10 – x) et que : PM = 0,8 x.

4°) En déduire l’aire A(x) du rectangle APMQ en fonction de x.

5°) Etablir le tableau de variation de A(x) sur I et en déduire l’aire maximale du rectangle APMQ.

  

IV/ Géométrie.

Soit la figure ABCDE ci-contre, on note G le centre de gravité du triangle AEB, I le milieu de [DC] et O le milieu de [BD]. (On pourra noter K le milieu de [EB])

Ne pas reproduire la figurewpe7.jpg (5421 octets)

1°) Isobarycentre.

Soit G1 l’isobarycentre des points A, B, C, D et E.

Démontrer que G1 est le barycentre des points G et I affectés de coefficients que l’on déterminera.

En déduire la distance GG1.

2°) Centre d’inertie.

Soit G2 le centre d’inertie de la plaque homogène d’épaisseur constante ABCDE.

Justifier que G2 est le barycentre des points G et O affectés de coefficients que l’on déterminera.

En déduire la distance GG2. Quelle est la distance entre G1 et G?

3°) Barycentres.

Soit G3 le barycentre du système de points pondérés {(A ; 2) ; (B ; m) ; (C ; p) ; (D ; 3) ; (E ;1)} où m et p sont deux réels à déterminer.

  1. A quelle condition sur m et p le points G3 est-il défini ?
  2. On note J le symétrique de B par rapport à A.
    Déterminer m pour que J soit le barycentre des points {(A ; 2) ; (B ; m)}.
  3. Déterminer p pour que I soit le barycentre des points {(C ; p) ; (D ; 3)}.
  4. Démontrer que O est le barycentre des points (A ; 1) et (I ;3).
    En déduire que (OG3) est parallèle à (EB).

 

Barème possible

 

 

I/ 4 points

II/ 5 points

III/ 5 points

IV/ 6 points