Devoir Maison n°3
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Pour le lundi 22 novembre 1999

Term S1

Devoir à la Maison n°3

 

I/ Etude d’un famille de fonctions

Étudier suivant les valeurs de n (nÎ N*), les variations de la fonction fn définie par :

(Étudier notamment la dérivabilité aux points d’abscisses –1, 0 et 1.)

Tracer la courbe représentative de fn pour n = 1, n = 2, n = 3 et pour n = 4.

(On pourra montrer que la courbe représentative de f4 admet les droites d’équation y = x et y = -x comme asymptotes obliques.)

 

II/ La fonction arctan.

Soit f la fonction tangente définie sur par : f(x) = tan x.

Soit g la fonction arctan définie sur R par : g(x) = f –1(x).

1°) Justifier que g est dérivable sur R. Écrire la dérivée de la fonction fog de deux manières différentes et en déduire l’expression de g’(x).

2°) Démontrer que sur [0 ; 1], on a :

3°) En 1673, Gottfried Wilhem Leibniz utilisa la relation : p = 4.arctan 1

pour calculer une valeur approchée de p .

a) Justifier cette relation.

b) Quel encadrement de p obtient-on avec l’inégalité précédente ? 

 

III/ Formule de Machin.

1°) Donner la forme cartésienne du nombre complexe : (5 – i)4.(1 + i)

2°) On note a et b les réels uniques définis par :

0 < a < , tan a = et 0 < b < , tan b =

Démontrer que 16a – 4b = p .

3°) Quelle approximation obtient-on pour p en utilisant l’encadrement obtenu dans le II/ ?

Remarque : C’est cette formule qui permit, en 1706, à John Machin de calculer les 100 premières décimales de p .