Devoir Maison n°2
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Pour le Mercredi 27 octobre 1999

Term S1

Devoir à la Maison n°2

(Spécialité)

I/ Nombres de Fermat

On se propose de démontrer que : " si le nombre (2n + 1) est premier, alors le nombre n est une puissance de 2. "

A. Préliminaires

Soient b et p deux entiers naturels non nuls.

1°) Factoriser b2p + 1b. En déduire que b2p + 1b et b2p + 1 + 1 sont divisibles par b + 1.

2°) Démontrer que : quels que soient les entiers a, m, p non nuls,

am(2p + 1) + 1 est divisible par am + 1.

B. Démonstration de la propriété.

1°) a) Soit n un entier naturel tel que le nombre (2n + 1) soit premier.

Démontrer par l’absurde que n ne peut pas avoir de diviseurs impairs autre que 1.

b) Conclure.

2°) On appelle nombres de Fermat les nombres entiers Fn = +1 où n est un entier naturel.

a) Déterminer le plus petit entier naturel n tel que Fn n’est pas un nombre premier.

b) Waclav Franciszek Sierpinski (1882 – 1970) a démontré que tout nombre de Fermat, non premier, admet un diviseur de la forme : k ´ 2n + 2 + 1, où k est un entier naturel non nul. Vérifier que cela correspond à l’exemple précédent. 

 

II/ Equation diophantienne.

1°) Résoudre dans N2 les équations suivantes :

a) x2y2 = 1.

b) x2y2 = p, où p est un nombre premier.

2°) Soient a et b deux nombres premiers tels que a > b. Déterminer tous les couples (x ; y) d’entiers naturels non nuls, tels que x2y2 = a2b2. (On distinguera deux cas suivant que b = 2 ou b ¹ 2)

 

III/ Critère de divisibilité par 7 et par 13.

Rechercher (à la main, dans un livre, sur le Net, …) un critère de divisibilité par 7 et un critère de divisibilité par 13. Expliquer et démontrer les critères de divisibilité trouvés et les appliquer aux nombres suivants : 101 111 101, 5 444 446, 722 222 228, 112 344 555 443 211