Devoir Maison n°1
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Pour le 11 octobre 1999

Term S1

Devoir à la maison n° 1

I/ Encore des formules de trigo !

Démontrer les formules suivantes :

1°) tan(a - b) + tan(b - c) + tan(c - a) = tan(a - b). tan(b - c). tan(c - a).

2°) tan a + tan b + tan c - tan a. tan b. tan c =

 

II/ Fractions continues

Pour tout réel k > 0, on définie la fonction fk sur R* par :

1°) Démontrer que l’équation f(x) = x admet deux solutions a et b tels que : a < 0 < b .

2°) On définit la suite (xn) par : x0 > 0 et xn+1 = fk(xn) pour tout entier n.

  1. Justifier que xn est défini pour tout entier n.
  2. On définit la suite (un) par : pour tout entier n.
  3. Justifier que un est défini pour tout entier n.

  4. Démontrer que (un) est une suite géométrique.
  5. En déduire l’expression de un puis de xn en fonction de n.

  6. Déterminer la limite de (xn). En déduire la valeur des expressions suivantes :

     et    

 

III/ Curiosité numérique

bulletExpérience

Mettre la calculatrice en mode degré et noter les nombres :

u0 = tan 89°, u1 = tan 89,9°, u2 = tan 89,99°, …

Que remarque-t-on ?

bulletTraitement mathématique

1°) On désigne par un la tangente de l’angle mesuré en degré par 89,999…9° (n chiffres 9 après la virgule)

Après avoir converti en radians, montrer que :

2°) a) Montrer que, pour tout 0 < x < 1, on a : 0 < sin x < x et 1 - < cos x < 1.

b) En déduire que, pour tout 0 < x < 1 :

3°) Vérifier que et déduire de la question précédente que :

4°) Conclure.