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Jeudi 25 mai 2000 Term S1-2

DEVOIR de MATHEMATIQUES (2h)

 

I/ Exercice

Un jeu consiste à extraire, au hasard et simultanément, 3 boules d’une urne contenant 5 boules rouges et 5 boules vertes.

Si le joueur obtient 3 boules rouges, événement que l’on note R3, il gagne 500 francs.

S’il obtient 2 boules rouges et 1 boule verte, événement que l’on note R2, il gagne 300 francs.

Enfin, s’il obtient strictement moins de 2 boules rouges il ne gagne rien, on note cet événement E.

1°) Montrer que les probabilités des événements R2 et R3 sont :

P(R2) = et P(R3) = .

2°) On note X la variable aléatoire donnant le gain du joueur.

Donner la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique.

3°) Dans cette question on modifie les règles du jeu de la façon suivante :

bulletSi le joueur réalise les événements R3 et R2 il ne gagne plus d’argent immédiatement mais est qualifié pour la suite du jeu que l’on appelle " Banco ".
bulletSi l’événement E est réalisé le joueur ne gagne rien et n’est pas qualifié pour le " Banco ".

Le " Banco " consiste à extraire une boule parmi les sept restées dans l’urne ; si celle-ci est verte le joueur empoche les 1000 francs du " Banco " et si elle est rouge le joueur a perdu mais repart avec une prime de " consolation " de 200 francs.

  1. Quelle est la probabilité d’empocher les 1000 francs du " Banco " sachant que R3 est réalisé ?
  2. Quelle est la probabilité d’empocher les 1000 francs du " Banco " sachant que R2 est réalisé ?
  3. En déduire la probabilité d’empocher les 1000 francs du " Banco ".
  4. On note Y la variable aléatoire donnant le gain du joueur dans ce nouveau jeu. Y peut donc prendre les valeurs 0, 200 ou 1000.

  5. Etablir la loi de probabilité de Y.
  6. Calculer l’espérance mathématique de Y et comparer avec celle de X.

 

II/ Problème.

Le plan étant rapporté au repère orthonormal (O ;) (unité graphique 5 cm).

On appelle C la courbe définie par les équations paramétriques :

(t Î R)

1°) Montrer que f et g sont périodiques de période 2p . On limitera l’étude à l’intervalle [-p  ; p ].

2°) Etudier la parité de chacune des fonctions f et g, en déduire un élément de symétrie de la courbe C.

3°) Calculer f(p - t) et g(p - t), en déduire un autre élément de symétrie de C.

4°) a) Montrer que f’(t) = 3.cos t. cos 2t.

b) Etudier les variations de f et g sur sur l’intervalle .

Préciser les tangentes parallèles aux axes.

Tracer avec soin la partie de la courbe C correspondant à cet intervalle puis à l’aide des symétries mises en évidence aux questions 2°) et 3°) tracer C.

5°) On démontre que l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine limité par la courbe C est donnée par la formule :

(On ne demande pas d’établir cette formule).

  1. Préciser le signe de f(t) et de g’(t) pour t Î et montrer que A est l’intégrale sur de la fonction h telle que h(t) = 8sin2t + 4sin2t. cos 2t.
  2. Linéariser la fonction h.
  3. En déduire l’aire A.