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Jeudi 2 mars 2000

Term S1-2

Devoir de mathématiques (3h)

(Calculatrice autorisée)

  

Exercice 1. (5 points)

Soient les points A(1;0;0), B(0;1;1), C(0;-1;-1), D(-1;1;-1) dans un repère orthonormal (O; ,,).

1°) a) Calculer l’aire du triangle ABC.

b) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

c) Vérifier que D n’appartient pas au plan (ABC).

2°) a) Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite (D ) passant par D et perpendiculaire au plan (ABC).

b) Déterminer les coordonnées du point d’intersection H de la droite (D ) et du plan (ABC).

c) En déduire la distance du point D au plan (ABC).

3°) Calculer le volume du tétraèdre ABCD.

4°) a) Déterminer une équation cartésienne du plan médiateur (P) du segment [DC].

b) Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite (D ’) d’intersection des plans (P) et (ABC)

 

Exercice 2. (4 points)

L'espace est orienté par le repère orthonormal direct (O; ,,)

Soient les points A(6;0;0), B(0;6;0).

1°) Déterminer les coordonnées du barycentre G des points pondérés (O;1), (A;2), (B;3).

2°) Soit le point C(0;0;4). On note S l'ensemble des points M de l'espace tels que :

Déterminer une équation cartésienne de S.

Quelle est la nature de S ? Précisez ses éléments.

3°) P est l'ensemble des points M de l'espace tels que :

MO2 + 2MA2 - 3MB2 = 24

  1. Montrer que G appartient à P.
  2. Montrer que M appartient à P si et seulement si , désignant le vecteur

. En déduire la nature et une équation de l'ensemble P. 

 

Problème. (d'après Bac S - Juin 1996) (11 points)

L'objet de ce problème est :

bulletd'étudier la fonction f définie sur l'intervalle [0;+¥ [ par
bulletde justifier rigoureusement le tracé de sa courbe représentative C dans un repère orthonormal (O; ,), unité graphique : 5 cm.
bulletde détailler enfin certaines propriétés d'une suite de nombres réels construite à partir de f.

 

Partie I

bulletQuestions préliminaires

1°) Soit g la fonction définie sur [0;+¥ [ par g(x) = ex - x - 1.

  1. Montrer que, pour tout x > 0, on a g'(x) > 0. En déduire le sens de variation de g sur [0;+¥ [.
  2. Calculer g(0). En déduire que, pour tout x > 0, on a g(x) > 0.

2°) Soit h la fonction définie sur [0;+¥ [ par h(x) = (2 - x) ex - 1.

  1. Etudier la fonction h et dresser son tableau de variation.
  2. Montrer que l'équation h(x) = 0 admet une solution et une seule a et que l'on a a > 1.
  3. Vérifier la double inégalité 1,84 < a < 1,85.
  4. Préciser, suivant les valeurs du nombre réel x ³ 0, le signe de h(x).

 

Partie II

bulletEtude de la fonction f et tracé de la courbe C

1°) a) Justifier que f est définie en tout point de [0;+¥ [.

b) Montrer que, pour tout x ³ 0, on peut écrire

En déduire .

Interpréter géométriquement, relativement à C, le résultat obtenu.

  1. Montrer que, pour tout x ³ 0,
  2. Etudier la fonction f et dresser son tableau de variation.

2°) a) Montrer que, pour tout x ³ 0,

  1. En déduire, suivant les valeurs du nombre réel x ³ 0, la position de la courbe C par rapport à la droite D d'équation y = x.

3°) a) Préciser la tangente au point de C d'abscisse 0.

  1. Tracer C, en faisant figurer sur le dessin la droite D d'équation y = 1 et tous les éléments obtenus

au cours de l'étude.

 

Partie III

bulletEtude d'une suite

On note un l'aire en cm2 du domaine plan compris entre la courbe C et les droites d'équations y = 1,

x = 1 et n, où n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.

1°) Déterminer une primitive de f sur [0;+¥ [.

2°) En déduire l'expression de un en fonction de n.

3°) Déterminer .