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Term S1 - Février 2000

ESIEE – Extrait des concours 1996 et 1997 (2h)

(Calculatrice interdite)

 

L’épreuve comporte 20 exercices indépendants, chaque exercice comportant 5 affirmations. Vous devez indiquer pour chacune d’elles si elle est vraie (V) ou fausse (F).

Toute réponse exacte rapporte un point, une réponse inexacte entraîne le retrait d’un point et l’absence de réponse ne rapporte ni ne retire aucun point.

Une bonification d’un point est ajoutée chaque fois qu’un exercice est traité correctement en entier (c’est à dire lorsque les réponses aux 5 affirmations sont exactes).

 

Question 1 (1997)

 

Question 2 (1997)

Pour tout nombre complexe z on a :

  1. |1 + iz| = |1 - iz| Þ z réel
  2. |i + z| = |i - z| Þ z réel
  3. |z| = |1 - z| Þ Re(z) =
  4. |1 - z| = 1 Þ z = 0
  5. z ¹ 0 et z + = 1 Þ Re(z) =

 

Question 3 (1997)

Dans l'espace rapporté au repère orthonormé (O,), on considère le plan (O,) noté P, et dans P le cercle C de centre O et de rayon 1. Soit I un point extérieur à P, M un point de C et QM le plan perpendiculaire en M à la droite (IM).

Alors :

  1. Pour tout M de C, QM est l'ensemble des points X tels que :
  2. Pour tout M de C, QM est l'ensemble des points Z tels que :
  3. Pour tout M(1,0,0), N(0,1,0) et T(-1,0,0), QM Ç QN Ç QT est une droite
  4. Lorsque M décrit C, l'intersection de tous les plans QM est une droite
  5. Lorsque M décrit C, l'intersection de tous les plans QM est un point

 

Question 4 (1997)

  1. eln 5 + e-ln 3 = 2
  2. Pour tout xÎ R, ln(ex + 1) = x + ln(e-x + 1)
  3. Pour tout xÎ R\{-1}, ln(x3 + 1)2 = 2ln(x3 + 1)
  4. Pour tout xÎ R, ln(e3x + 1)2 = 2ln(e3x + 1)

 

Question 5 (1997)

On considère la fonction numérique f définie sur R par :

f(x) = cos 4x + 2 cos 2x

Dans un repère orthonormé (O,), on note :

C la courbe représentative de f restreinte à

C1 la courbe représentative de f restreinte à

C2 la courbe représentative de f restreinte à

  1. f est paire
  2. f(p ) = f(0)
  3. C1 est obtenue à partir de C par une translation de vecteur
  4. C2 est obtenue à partir de C par une symétrie d'axe
  5. C2 est obtenue à partir de C1 par une translation de vecteur

 

 

Question 6 (1997)

On considère la fonction numérique f définie sur R par :

On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.

Alors :

  1. Pour tout xÎ R,
  2. Pour tout xÎ R,
  3. La droite d'équation y = x + 1 est asymptote à C
  4. f est impaire

 

Question 7 (1997)

On considère la fonction numérique f définie sur R par :

On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.

Alors :

  1. f est dérivable en x = 1
  2. C admet deux demi-tangentes au point d'abscisse x = 5
  3. f est croissante sur R
  4. f est paire
  5. C admet une asymptote oblique

 

 

Question 8 (1997)

On considère la parabole P d'équation y = x2 - 4x + 4.

On note M(0,4), N(3;1), T la tangente à P au point N,

I l'aire du domaine compris entre la parabole et (MN)

et les droites d'équation x = 0 et x = 3 (domaine hachuré

sur la figure), J l'aire du domaine compris entre la parabole

et T et les droites d'équation x = 3 et x = 4 (domaine grisé).

Alors :

  1. L'équation de T est : y = 2x - 6
  2. L'équation de (MN) est : y = -x + 4

 

Question 9 (1997)

  1. {xÎ R, |x - 1| > 3 - 2x} = ]2; +¥ [
  2. {xÎ R, x2 - 4x + 5 > 0} = R
  3. Pour tout couple de réels non nuls (x;y), x < y Þ
  4. Pour tout couple de réels (x;y), x2 - 2xy + y2 ³ 0
  5. Pour tout couple de réels (x;y), xy - x2 - 3y2 £ 0

 

Question 10 (1997)

Pour toute suite réelle (un) on a:

  1. Si (un) n'est pas minorée alors elle est majorée
  2. Si (un) prends un nombre fini de valeurs alors elle est convergente
  3. Si (un) est positive et strictement croissante alors
  4. Si (un) est bornée alors (un) converge
  5. Si (un) converge alors (un) prend un nombre fini de valeurs

 

 

Question 11 (1998)

On distribue 5 cartes d'un jeu de 32 cartes. Une configuration est gagnante si et seulement si : pour les quatre premières cartes,

"si une carte est rouge alors la suivante à droite est noire".

Les configurations suivantes sont nécessairement gagnantes :

(les cartes non retournées sont hachurées)

 

 

Question 12 (1998)

Dans l'ensemble des nombres complexes :

 

 

Question 13 (1998)

Dans le plan complexe, on note I et J les points d'affixe respective 1 et i.

(IJ) est la droite passant par I et J.

Pour tout point M d'affixe z différente de 1, on a :

  1. si et seulement si z(z - 1 ) = 3
  2. si et seulement si
  3. IM = 2 si et seulement si
  4. MÎ (IJ) si et seulement si
  5. MÎ (IJ) si et seulement si

 

Question 14 (1998)

Soit un cube IJKL de côté 1 tel que (I,) soit un repère orthonormé direct.

Alors :

  1. Le volume du tétraèdre KNIP est
  2. La distance du point K au plan (INP) est
  3. Le plan (INP) est le plan médiateur du segment [KM]
  4. L'ensemble des points X de l'espace tels que est la droite (MK)

 

 

Question 15 (1998)

Pour toutes suites numériques (un) et (vn) qui vérifient :

pour tout nÎ N, un £ vn,

on peut affirmer que :

  1. Si (un) diverge alors (vn) diverge
  2. Si (vn) est bornée alors (un) est majorée
  3. Si (vn) est décroissante alors (un) est majorée
  4. Si (vn) est convergente alors (un) est majorée
  5. Si (vn) est convergente alors (un) est convergente

 

 

Question 16 (1998)

On considère la fonction f définie sur [0;10] par : f(x) = -x2 + 6x - 5.

On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé, et TM la tangente à C au point M de C.

Alors :

  1. Il existe un point M de C tel que TM soit parallèle à l'axe des abscisses
  2. Il existe un point M de C tel que TM soit parallèle à la droite (IJ) où I(1;0) et J(4;3)
  3. Il existe un point M de C tel que TM ait pour coefficient directeur 8
  4. Il existe deux points distincts M et N de C tels que TM et TN soient parallèles
  5. Il existe deux points M et N de C tels que TM et TN soient perpendiculaires

  

 

Question 17 (1998)

Pour toute fonction f dérivable sur R et vérifiant :

pour tout xÎ R, f(x) = 4 - f(-x - 2)

on a :

  1. f(-1) = 2
  2. La courbe représentative de f admet un centre de symétrie
  3. La courbe représentative de f traverse sa tangente au point d'abscisse x = -1
  4. Pour tout xÎ R, f(x - 1) = 4 - f(-1 - x)
  5. Pour tout xÎ R, f ' (x) = - f ' (- x - 2)

 

 

Question 18 (1998)

Soit a et b deux réels et fa,b la fonction définie par :

pour tout xÎ R\{-b},

On note Ca,b la courbe représentative de fa,b dans un repère orthonormé.

  1. Pour toutes valeurs de (a,b), Ca,b admet une asymptote verticale
  2. Il existe au moins une valeur de a telle que Ca,b admette une asymptote horizontale
  3. Il existe au moins une valeur de a non nulle telle que Ca,b admette une asymptote oblique
  4. Pour (a,b) = (1,1), Ca,b est au-dessus de son asymptote au voisinage de +¥
  5. Pour (a,b) = (-1,1), Ca,b est au-dessus de son asymptote au voisinage de +¥

 

Question 19 (1998)

On considère la fonction f dérivable sur R dont la courbe représentative dans un repère orthonormé est donné ci-contre :

(on précise que : et que pour tout xÎ ]-¥ ;-3[ f(x) < 0)

Alors :

  1. f ' (1) = 2
  2. L'ensemble des solutions de l'équations f(x) = 0 est {-3}
  3. L'ensemble des solutions de l'inéquation f(x) ³ est inclus dans [0;+ ¥ [
  4. L'ensemble{xÎ [-3;1], f ' (x) £ 0} = [-2;-1]
  5. L'ensemble des solutions de l'inéquation f ' (x) £ -1 est ]- ¥ ;-3]

 

Question 20 (1998)

Soit f la fonction numérique définie par : pour tout xÎ R\{-1;0;1},

alors :

  1. Pour tout xÎ R\{-1;0;1},
  2. Pour tout xÎ R\{-1;0;1}, f(x) £ 1
  3. Il existe un intervalle [a,b] (a < b) tel que pour tout xÎ [a,b] f(x) < 0