Devoir n°5
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Jeudi 20 janvier 2000

Term S1-2

Devoir de Mathématiques (2h)

(Calculatrice autorisée)

 

I/ Exercice.

Soit ABCD un tétraèdre. On note I le milieu de [AD] et J le milieu de [BC].

1°) Démontrer que : AC2 - BD2 =

Ecrire une égalité analogue avec AB2 - CD2.

2°) Démontrer que (AD) et (BC) sont perpendiculaires à (IJ) si et seulement si :

AC = BD et AB = CD 

 

II/ Problème.

Soit f la fonction définie sur R\{-1} par : f(x) = x.ln | x + 1 | - x2 + 1.

1°) a) Déterminer les limites de f(x) quand x tend vers -¥ et vers -1.

b) Montrer que pour x > 0, on peut écrire :

et en déduire la limite de f(x) quand x tend vers +¥ .

2°) a) Etudier les variations de la fonction f' dérivée de f.

On vérifiera que :

b) En déduire le signe de f'(x) en fonction de x.

3°) Etudier les variations de f.

4°) Tracer la courbe (Cf) représentative de f dans un repère orthonormal

(unité graphique : 2 cm).

5°) a) Démontrer que l'équation (E) : f(x) = 0 admet deux solutions distinctes.

b) Déterminer graphiquement un encadrement entre deux entiers consécutifs de chacune des solutions de (E).

c) Déterminer une valeur approchée à 10-2 des deux solutions de (E).

6°) a) Soit g la fonction définie sur ]-1; +¥ [ par : g(x) = (x2 - 1 ).ln(x + 1).

Déterminer la fonction dérivée de g.

b) En déduire une primitive de f sur ]-1; +¥ [.

c) Déterminer l'aire, en cm2, du domaine plan délimité par la courbe (Cf), les axes du repère et la droite d'équation : x = 1.