Devoir n°3
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Jeudi 25 novembre 1999

Term S1-2

Devoir de Mathématiques (3h)

(Calculatrice autorisée)

 

I/ Exercice. (6 points)

Soit P(z) = z3 – (1 – i) z2 + z – 1 + i, avec zÎ C

1°) Démontrer que P(z) admet deux racines imaginaires pures.

2°) Résoudre l’équation P(z) = 0.

3°) On note a et b les racines trouvées au 1°), a de partie imaginaire négative, et g la 3ème racine de P(z). On note A, B, C les points d’affixes a , b et g dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal (O ;).

  1. Placer les points A, B et C dans le plan complexe.
  2. Déterminer l’affixe d du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
  3. Déterminer l’affixe g ’ du point C’ image de C par la rotation de centre O et d’angle .
  4. Que représente le point C pour le segment [C’D] ?

 

II/ Problème. (14 points)

Soit f la fonction définie sur [-1;+¥ [ par :

et soit (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O;) (unité graphique : 4 cm.)

Partie A

1°) Déterminer la limite de f en +¥ .

2°) Étudier la dérivabilité de f en -1.

Que peut-on en déduire pour (C) ?

3°) Étudier les variations de f et construire la courbe (C).

4°) Soit g la fonction définie sur [0;1] par : g(x) = f(x) - x.

a) Étudier le sens de variation de g.

b) En déduire que l’équation g(x) = 0 admet une solution unique a et donner une valeur approchée de a à 10-1 près. 

Partie B

Dans cette partie on cherche à obtenir une meilleure approximation de a .

Soit la suite (un) définie par :

1°) a) Calculer u1 et u2.

La suite (un) est-elle monotone ?

b) Démontrer que pour tout entier naturel n,

on a : unÎ [0;1].

2°) a) Démontrer que pour tout x > -1 : .

b) Encadrer sur [0;1]

c) En déduire que pour tout x appartenant à [0;1] on a :

3°) a) En utilisant l’inégalité des accroissements finis, démontrer que pour tout entier naturel :

b) en déduire que :

et que la suite (un) est convergente.

4°) Déterminer la plus petite valeur de n telle que

.

En déduire une valeur approchée de a à 10-3 près.