Devoir n°2
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Jeudi 21 octobre 1999

Term S1-2

Devoir de Mathématiques (2h)

(Calculatrice interdite)

 

I/ Equation et plan complexe.

1°) Résoudre dans C l’équation (E) : z3 + 8 = 0

(On pourra remarquer qu’il y a une racine réelle)

Donner les solutions de (E) sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique.

2°) On note A, B et C les images des solutions de (E) dans le plan complexe.

Placer les points A, B et C dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal (O;) et démontrer que le triangle ABC est équilatéral.

 

II/ Ensembles de points dans le plan complexe.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O; ). A tout nombre complexe z distinct de –i, on associe le nombre complexe :

1°) a) Calculer z’ lorsque z = 1.

b) Déterminer z tel que z’ = 2.

2°) On pose z = x + i.y et z’ = x’ + i.y’ (où x, y, x’ et y’ sont des réels)

Exprimer x’ et y’ en fonction de x et de y.

Déterminer et représenter l’ensemble (C) des points M d’affixe z tels que z’ soit un nombre réel.

3°) On note A le point d’affixe –1, B le point d’affixe –i, M le point d’affixe z et M’ le point d’affixe z’.

a. Interpréter géométriquement | z’ |.

b. Déterminer et représenter l’ensemble (D) des points M tels que M’ soit sur le cercle de centre O et de rayon 1.

 

III/ Calculs de limites.

Calculer les limites suivantes :

1°)

2°)

 

IV/ Etude d’une fonction.

Soit fm la fonction définie sur R\{1} par : m est un paramètre réel.

On note (Cm) sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O;).

Partie A

1°) Déterminer en fonction de m la limite de fm(x) quand x tend vers 1.

Que peut-on en déduire pour (Cm) ?

2°) a) Déterminer a, b et c en fonction de m tels que : pour tout x ¹ 1.

b) En déduire que, pour m ¹ -1, (Cm) admet une asymptote oblique (Dm) dont on donnera une équation en fonction de m.

Déterminer la position de (Cm) par rapport à (Dm).

Partie B

Soit f3 la fonction définie sur R\{1} par :

1°) En utilisant les résultats de la partie A, donner les équations des deux droites asymptotes à (C3)

2°) a) Déterminer les coordonnées du point A intersection des deux asymptotes à (C3).

b) Démontrer que A est un centre de symétrie de (C3)

3°) Étudier les variations de f3 et tracer (C3) dans le repère (O; ). (unité graphique : 1 cm)

 

Barème possible : I/ 3,5 pts - II/ 5,5 pts - III/ 3 pts - IV/ 8 pts