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Jeudi 30 septembre 1999

Term S1-2

Devoir de Mathématiques (2h)

(Calculatrice autorisée)

 

I/ Suites récurrentes.

On définit la suite (un) par :

1°) Calculer u1 et u2.

2°) Soit la fonction h définie sur [0; 5] par :

  1. Étudier les variations de h.
  2. Résoudre l’équation h(x) = x.
  3. Tracer la courbe (H) représentative de h et la droite (D ) d’équation y = x dans un repère orthonormal (O;) (unité graphique : 2 cm).

3°) a) Construire à l’aide de (H) et de (D ) les points de (O;) d’abscisses u0, u1, u2 et u3 en expliquant leur construction.

  1. Que peut-on supposer pour la monotonie et la convergence de (un) ?
  2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 1£ un £ 4.

4°) On définit la suite (vn) pour tout entier naturel n par :

  1. Calculer v0 et v1.
  2. Démontrer que (vn) est une suite géométrique que l’on caractérisera.
  3. En déduire l’expression de vn en fonction de n et la limite de (vn) quand n tend vers +¥ .

5°) Exprimer un en fonction de vn et en déduire l’expression de un en fonction de n et la limite de (un) quand n tend vers +¥ .

 

II/ Somme de termes.

Pour tout entier naturel n, on définit : Sn = = 1 – 2 + 4 – 8 + … + (-2)n.

1°) Déterminer une expression simple de Sn en fonction de n.

2°) Déterminer la limite, si elle existe, de (Sn) quand n tend vers +¥

 

III/ Étude d’une fonction.

Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = cos2 x. sin 2x

1°) Vérifier que f est impaire et de période p .

2°) Démontrer que f est dérivable sur R et que f’(x) = 2 cos2 x. (1 – 4 sin2 x).

En déduire les variations de f sur .

3°) Préciser les équations des tangentes aux points d’abscisses 0, et

4°) Tracer, en justifiant, la représentation graphique de f sur [-p ;p ] dans un repère orthonormal (unités graphiques : 2 cm en abscisse et 8 cm en ordonnée)

NB : On rappelle que si u est une fonction dérivable sur I, alors la fonction v = u2 est dérivable sur I et :

v’ = 2 u’ u.

 

IV/ Equations

1°) Résoudre sur ]-p ; p ] : tan x = sin 2x.

2°) Résoudre sur ]-p ; p ] : cos 4x + sin 2x = 0.

 

Barème possible : I/ 8,5 pts - II/ 1,5 pts - III/ 6 pts - IV/ 4 pts