Bac Blanc n°1
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Vendredi 17 décembre 1999

Term S

Bac Blanc 1

Mathématiques (4 h)

(Calculatrice autorisée) 

 

Exercice 1 (5 points)

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O ;), unité graphique : 4 cm, on considère les points A, B et C d’affixes respectives a, b et c telles que :

a = 1 – i, b = 1 + i, c = – 1 + i = – a.

On note G le cercle de diamètre [AB].

1°) a) Placer sur une figure les points A, B, C et le cercle G .

b) Mettre les nombres complexes a, b et c sous forme trigonométrique.

c) Soit r la rotation de centre O telle que r(A) = B.

Déterminer l’angle de r et le point r(B) image de B par r.

d) Déterminer l’image G ’ du cercle G par ; placer G ’ sur la figure.

2°) On considère un nombre q Î ]0 ; 2p [ distinct de p  ; on note M le point d’affixe z = 1 + ieiq .

On désigne par M’ l’image de M par r, et on appelle z’ l’affixe de M’.

a) Montrer que M est un point de G distinct de A et de B.

b) Exprimer z’ en fonction de z.

Calculer en fonction de q les affixes u et u’ des vecteurs et .

c) Etablir la relation u = u’ tan.

d) Prouver que les points B, M et M’ sont alignés.

Placer sur la figure un point M et son transformé M’. 

 

Spécialité Physiques ou S.V.T.

Exercice 2 (5 points)

Soit ABC un triangle

1°) Construire le point I barycentre du système de points pondérés {(A, 2) ; (C, 1)}, le point J barycentre du système de points pondérés {(A, 1) ; (B, 2)} et le point K barycentre du système de points pondérés {(C, 1) ; (B, -4)}

Démontrer que B est le barycentre du système de points pondérés {(K, 3) ; (C, 1)}.

2°) Déterminer le barycentre du système de points pondérés {(A, 2) ; (K, 3) ; (C, 1)} et en déduire la position de J par rapport à I et K.

3°) Soit L le milieu du segment [CI] et M celui du segment [KC]. Déterminer 4 réels a, b, c et d tels que : L soit le barycentre du système de points pondérés {(A, a) ; (C, c)}, et M celui du système de points pondérés {(B, b) ; (C, d)}.

Démontrer que IJML est un parallélogramme de centre G isobarycentre des points A, B et C.

 

Spécialité Mathématiques

Exercice 2 (5 points)

Les deux parties sont totalement indépendantes.

Partie A.

1°) On considère l’équation (E) : 9x – 7y = 1 avec xÎ Z et yÎ Z.

a) Déterminer une solution particulière de (E)

b) Déterminer l’ensemble des solutions de (E) dans Z2.

2°) Déterminer les entiers naturels du système décimal inférieurs à 200 qui s’écrivent :

dans le système à base a.

dans le système à base b.

Partie B

Déterminer deux entiers naturels n et p tels que :

 

Problème (10 points)

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal (O ;) d’unité graphique 2 cm.

Partie I

Soit f l’application définie sur ]0 ; +¥ [ par f(x) = x – 4 + et Cf sa courbe représentative.

1°) Calculer les limites de f aux bornes de ]0 ; +¥ [.

Justifier que Cf admet une asymptote et en donner une équation.

2°) a) Etudier les variations de f sur ]0 ; +¥ [ et dresser son tableau de variations

b) En déduire que l’équation f(x) = 0 admet une solution unique a appartenant à [3 ; 4].

c) Tracer Cf.

3°) Soit D le domaine limité par Cf, l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x = a et x = 4.

a) Calculer, pour > 0, la dérivée de x x ln x.

En déduire une primitive de f.

b) En utilisant le résultat du a), exprimer l’aire en cm2 du domaine D à l’aide d’un polynôme du second degré en a .

Partie II

Dans cette partie, I désigne l’intervalle [3 ; 4].

1°) Soit g l’application définie sur ]0 ; +¥ [ par g(x) = 4 – .

a) Montrer que a est solution de l’équation g(x) = x.

b) Montrer que si xÎ I alors g(x)Î I.

c) Montrer que pour tout x de I, .

2°) Soit (un)nÎ N la suite définie par : u0 = 3 et pour tout entier naturel n, un+1 = g(un).

a) En utilisant II-1° b), montrer par récurrence que : pour tout entier naturel n, un est élément de I.

b) Prouver que pour tout entier naturel :

.

En déduire par récurrence que pour tout entier naturel :

.

Quelle est la limite de la suite (un)nÎ N ?

c) Trouver le plus petit entier n0 tel que :.

En déduire que u3 est une valeur approchée de a à 10-3 près et donner une valeur de a à 10-3 près.