Bac Blanc n°2
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Avril 2000 Terminales S

BAC BLANC II

Mathématiques (4h)

(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1 (4 points)

1°) Une urne contient deux boules blanches et n boules noires, indiscernables au toucher.

Un joueur tire simultanément deux boules de l'urne et on note A2 l'événement : " Le joueur a tiré deux boules blanches ".Déterminer n pour que la probabilité p(A2) de l’événement A2 soit égale à .

2°) Dans toute la suite du problème, on prend n = 4.

A - Un joueur tire simultanément deux boules de l’urne et on note :

A0 l’événement : " Le joueur a tiré deux boules noires ".

A1 l’événement : " Le joueur a tiré une boule noire et une boule blanche ".

A2 l’événement : " Le joueur a tiré deux boules blanches ".

  1. Calculer la probabilité des événements A0 et A1.
  2. Lors de ce tirage, le joueur marque trois points pour chaque boule blanche tirée et perd deux points pour chaque boule noire tirée.

Calculer la probabilité que le joueur soit gagnant (c’est à dire qu’il ai un score strictement positif).

B - Après ce premier tirage, le joueur remet les boules noires dans l’urne et laisse les boules blanches tirées de côté, puis effectue un nouveau tirage simultané de deux boules.

Soit Bi l’événement : " On obtient i boule(s) blanche(s) lors du deuxième tirage " (i = 0, 1 ou 2)

  1. Donner p(B0|A2) et en déduire p(B0Ç A2).
  2. Calculer de même p(B0Ç A1) et p(B0Ç A0).

    En déduire que p(B0) = .

  3. Montrer de même que p(B2) =

En déduire p(B1).

 

Candidats n’ayant pas choisi

l’enseignement de spécialité

 

Exercice 2 (4 points)

Le plan complexe P est muni d’un repère orthonormal direct (O ;) d’unité graphique 1 cm.

On considère la suite de points Mn du plan d’affixes respectives non nulles zn définies par :

z0 = 8

et pour tout entier naturel n :.

1°) calculer le module et un argument du nombre complexe :.

L’écrire sous forme trigonométrique.

2°) Calculer z1, z2, z3 et vérifier que z3 est réel.

Placer dans le plan P les points M0, M1, M2 et M3.

3°) Pour tout entier naturel n, calculer le rapport .

En déduire que le triangle OMnMn+1 est rectangle et comparer les longueurs OMn+1 et MnMn+1.

 

 

Candidats ayant choisi

l’enseignement de spécialité

 

Exercice 2 (4 points)

Le plan complexe P est muni d’un repère orthonormal direct (O ;) d’unité graphique 5 cm.

A, B, C désignent les points d’affixes respectives 1 - i, i et -1. On note g l’application qui a tout point M du plan, d’affixe z associe le point g(M) d’affixe :

1°) a) Déterminer g(B).

b) On note I le milieu de [BC], prouver que les points O, A, I sont alignés, et placer les points O, A, B, C, I sur une figure.

2°) a) Prouver que g est une similitude directe dont on déterminera le centre W , le rapport et l’angle.

b) Prouver que les points A, B, W sont alignés.

3°) a) Déterminer la mesure de l’angle . Montrer que l’image de la droite (OB) par g est la droite (OI).

b) Soit O’ l’image de O par g. Montrer que la droite (OO’) est l’image par g de la droite (BO).

c) En déduire que les points I, O, O’, A sont alignés.

4°) Montrer que les points I et W appartiennent au cercle de diamètre [BO’].

 

 

Problème (12 points)

Question préliminaire :

On admet que, pour tout nombre réel x strictement positif : ex ³ x + 1 et ln x £ x - 1 où ln désigne la fonction logarithme népérien.

En déduire que, pour tout x strictement positif : ex - ln x ³ 2. (1)

 

Partie A - Etude d’une fonction.

On considère alors la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +¥ [ par :

On désigne par C la représentation graphique de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O ;) ; (unité graphique : 4 cm).

1°) Etudier la dérivabilité de f en 0.

2°) Déterminer la limite de f en +¥ .

Interpréter graphiquement ce résultat.

3°) On désigne par g la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +¥ [ par :

g(x) = ex - ln x - xex + 1.

  1. Déterminer la limite de g en 0.
  2. Déterminer la limite de g en +¥ . ( on pourra mettre ex en facteur dans l’expression de g(x)).

    Etudier le sens de variation de g et dresser son tableau de variation.

  3. Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution a .
  4. Justifier que 1,23 £ a £ 1,24(2).
  5. Etudier le signe de g(x) lorsque x d écrit l’intervalle ]0 ; +¥ [.

4°) a) Etudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variation.

b) Démontrer que

En utilisant l’encadrement (2) du réel a , déterminer un encadrement de f(a ). En déduire que 0,38 est une valeur approchée de f(a ) à 10-2 près.

5°) Tracer la courbe C et préciser ses tangentes aux points d’abscisses respectives 0 et a .

 

Partie B - Etude d’une suite définie par une intégrale.

On considère la suite (un) définie par :

pour tout entier naturel n ³ 1, .

(On ne cherchera pas à calculer cette intégrale)

1°) Interpréter géométriquement un.

2°) Etudier le sens de variation de la suite un.

3°) Soit j la fonction définie sur [1 ; +¥ [ par :

j (x) = ex - x ln x - ln x.

Calculer j ’(x). En utilisant l’inégalité (1) de la partie préliminaire, démontrer que, pour tout réel x ³ 1, j ’(x) ³ 0.

En déduire que, pour tout réel x ³ 1, j (x) ³ 0.

4°) a) En utilisant la question précédente, montrer que, pour tout réel x ³ 1,.

b) Montrer que, pour tout réel x ³ 1,

f(x) ³ xe-x.

  1. En intégrant par parties, calculer, en fonction de l’entier naturel n, les deux intégrales suivantes :

et

5°) On admettra que la suite (un) converge et on appelle l sa limite.

Démontrer que : .