Interrogation n°7
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Term S1 - Février 1999 – Nom :

FESIC – Extrait du concours 1995 (1h30)

(Calculatrice interdite)

 

L’épreuve comporte 9 exercices indépendants à choisir parmi les 12 proposés, chaque exercice comportant 4 affirmations. Vous devez indiquer pour chacune d’elles si elle est vraie (V) ou fausse (F).

Toute réponse exacte rapporte un point, une réponse inexacte entraîne le retrait d’un point et l’absence de réponse ne rapporte ni ne retire aucun point.

Une bonification de deux points est ajoutée chaque fois qu’un exercice est traité correctement en entier (c’est à dire lorsque les réponses aux 4 affirmations sont exactes).

 

 

Question 1

 Soit f la fonction définie par : , D son ensemble de définition et C sa courbe représentative. 

 

  1. D = ]-¥  ; -2[È ]2 ;+¥ [.
  2. C admet un centre de symétrie.
  3. L’équation f(x) = 1 admet une solution unique sur D
  4. C admet trois asymptotes distinctes

 

Question 2

 Soit f la fonction définie par :

D son ensemble de définition et C sa courbe représentative. 

 

  1. f est dérivable sur D et pour tout xÎ D on a :
  2. C admet la droite D d’équation y = -2x – 8 comme tangente en un point
  3. C n’admet pas d’autre tangente parallèle à D
  4. Les droites D 1 d’équation y = 2x – 4 et D 2

d’équation y = 2x – 6 sont asymptotes à C

 

Question 3

 Soit F l’unique primitive sur R qui s’annule en 0 de la fonction :

 

  1. F est une fonction paire.
  2.  

    Soit j la fonction définie sur ]0 ; +¥ [ par

  3. j est constante sur ]0 ; +¥ [
  4. F(1) ¹ 0.

 

Question 4

 Soit la fonction f définie sur l’intervalle

I = ]-1 ;+¥ [ par : f(x) = ln (1 + x) – x +

 

  1. f est croissante sur I.
  2. Pour tout réel x ³ 0, on a :  ln (1 + x) ³ x -
  3. f(0) = f’(0) = f’’(0)

 

Question 5

 Pour nÎ N, on pose :

 

  1. La suite (In) est croissante
  2. Pour tout nÎ N*, on a : 0 £ In £
  3. Pour tout nÎ N, on a  In+1 + 10 In =
  4. On a : I3 = - 1 000 ln (1,1)

 

Question 6

 Soit (un)nÎ N la suite définie par : u0 = 1 et la relation de récurrence :

 

  1. Pour tout entier nÎ N*, on a : | un+1 – un | £ | unun-1 |

 Soit (vn)nÎ N la suite définie pour tout nÎ N par :

 

     b. La suite (vn) est une suite géométrique

  1. La suite (vn) est divergente
  2. La suite (un) est divergente

 

 

Question 7

 On pose

 

  1. Il existe (au moins) un entier n ³ 1 tel que znÎ R
  2. Il existe (au moins) un entier n ³ 1 tel que zn soit imaginaire pur
  3. Pour tout entier nÎ N, on a : zn+4 = zn.
  4. Pour tout entier nÎ N, on a :

 

Question 8

 Soit q un réel quelconque et (E) l’équation dans C d’inconnue z :

z2eq z + e–2q = 0

On note z1 et z2 les racines de (E).

 

  1. Pour tout réel q , (E) a deux solutions complexes non réelles distinctes
  2. Pour tout réel q , on a :
  3. Pour tout réel q , on a : | z1 | = | z2 | = e–2q .
  4. Pour tout réel q , on a : e–2q - 1 - i eq = (iz1)(i - )

 

Question 9

 

  1. Soient a, b, c et d quatre réels avec a ¹ 0.
  2. L’équation az3 + bz2 + cz + d = 0 peut avoir une racine complexe non réelle et une seule.

     

    On considère pour zÎ C,

    f(z) = z3 + 3z2 + 3z + 2.

     

  3. On a :
  4.  

    On note A, B et C les points d’affixe les solutions de l’équation f(z) = 0.

     

  5. Le module du produit des affixes de A, B et C est égal à 2.
  6. Le triangle (ABC) est isocèle rectangle.

 

Question 10

 On donne un tétraèdre (ABCD) de centre de gravité G. On désigne par :

bulletG’ le centre de gravité du triangle (BCD)
bulletK le barycentre des points pondérés (A, 4), (B, 1), (C, 1), (D, 1)
bulletI le barycentre des points pondérés (A, 3), (C, 4)

 

  1. GÏ (AG’)
  2. Les points A, K et G sont alignés
  3. Les droites (KI) et (GC) sont parallèles
  4. Dans le repère (B,), le point I a pour coordonnées

 

Question 11

 Dans l’espace , on considère les points de coordonnées respectives A(1 ;0 ;0), B(0 ;2 ;0) et C(0 ;0 ;3).

On note H le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC)

 

  1. Une équation du plan passant par A et perpendiculaire à (BC) est : -2y + 3z = 0
  2. Une équation du plan (ABC) est : 6x + 3y + 2z – 6 = 0
  3. Le point H a pour coordonnées
  4. H est l’orthocentre du triangle (ABC)

 

Question 12

 On considère une pyramide (SABCD) de sommet S dont la base (ABCD) est un trapèze.

(AB) et (CD) sont parallèles ;

(AB) et (BC) sont perpendiculaires.

La droite (SA) est orthogonale au plan (ABC)

Enfin, on donne les longueurs

AB = 3, BC = 5, CD = 5 et SA = 7.

 

  1. (CD2 – SD2 – SC2)
  2. SC2 = 80