Interrogation n°5
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Term S1 - Janvier 1999

ESIEE – Extrait du concours 1996 (1h)

(Calculatrice interdite)

 

L’épreuve comporte 10 exercices indépendants, chaque exercice comportant 5 affirmations. Vous devez indiquer pour chacune d’elles si elle est vraie (V) ou fausse (F).

Toute réponse exacte rapporte un point, une réponse inexacte entraîne le retrait d’un point et l’absence de réponse ne rapporte ni ne retire aucun point.

Une bonification d’un point est ajoutée chaque fois qu’un exercice est traité correctement en entier (c’est à dire lorsque les réponses aux 4 affirmations sont exactes).

 

Question 1 

  1. Pour tout x de [-1 ; +¥ [,
  2. Pour tout x de R\{0},
  3. Pour tout x de ]1 ; +¥ [,

 

Question 2

 On pose X = ]-1 ; 3[È ]3 ; +¥ [ et pour tout x de X,

Alors : 

  1. pour tout x de X,
  2. pour tout x de X, f(x) ³ 0.
  3. f est décroissante sur ]3 ; +¥ [.

 

Question 3

 Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = sin 3x – sin x.

Alors :

 

  1. pour construire la courbe Cf, il suffit d’étudier f sur [0 ; p ]
  2. f est dérivable sur R et pour tout x de R, f’(x) = - 4 cos x sin2x
  3. f est décroissante sur
  4. f est décroissante sur
  5. pour tout k de N,

 

Question 4

 Pour toutes fonctions f et g, dérivables et positives sur [0 ; +¥ [, qui vérifient : pour tout x de [0 ; +¥ [, f(x) £ 2x et g(x) ³ 3x,

on a :

 

  1. f(0) = 0.
  2. g(0) = 0.
  3. Pour tout x de [0 ; +¥ [, f’(x) £ 2.
  4. f est décroissante sur [0 ; +¥ [.
  5. g est croissante sur [0 ; +¥ [.

 

Question 5

 On considère trois fonctions f, g et h définies sur R, dont les courbes représentatives sont données ci-dessous :

Courbe de f      Courbe de g            Courbe de h

On a :

 

  1. f est paire
  2. f est bornée sur R.
  3. g est décroissante sur R.
  4. Pour tout x de ]0 ; 2] h’(x) ³ 0.

     e.

 

Question 6

 On considère les nombres complexes a = 1 + i et b = 1 – i. Alors :

 

  1. Arg a =
  2. Il existe au moins un p de N* tel que ap soit réel.
  3. Il existe au moins un q de N* tel que aq soit imaginaire pur.
  4. Il existe au moins un n de N* tel que bn = 1.
  5. Il existe au moins un m de N* tel que am et bm soient réels.

 

Question 7

 Dans un plan muni d’un repère (O ;,), on considère les points M d’affixe a et N d’affixe b tels que a et b soient les solutions de l’équation : z2 – 2z + 3 = 0.

On a :

 

  1. = ab.
  2. a + b est un nombre réel.
  3. Le milieu de [MN] est sur l’axe des abscisses.
  4. La droite (MN) est parallèle à l’axe des ordonnées.
  5. M et N appartiennent au cercle de centre O et de rayon 2.

 

Question 8

 Pour toute suite numérique (un), on a :

 

  1. Si, pour tout n de N, 1 £ un £ 2 alors (un) est convergente.
  2. Si, pour tout n de N, un – 3 £ alors (un) converge vers 3.
  3. Si (un) est une suite géométrique de raison - alors (un) converge
  4. Si (un) est une suite arithmétique de raison - alors (un) converge
  5. Si (un) converge vers 0 alors (un) est une suite croissante et négative ou décroissante et positive.

 

Question 9

 Dans un QCM, un exercice a 3 réponses X, Y, Z qui sont chacune soit vraie soit fausse.

Sachant que :

  1. pour que X soit vraie il faut que Y soit fausse.
  2. si X est fausse et Z vraie alors Y est vraie.

Alors on peut avoir :

 

  1. X vraie et Y fausse et Z fausse.
  2. X vraie et Y fausse et Z vraie.
  3. X fausse et Y vraie et Z vraie.
  4. X fausse et Y fausse et Z fausse.
  5. X fausse et Y vraie et Z fausse.

 

Question 10

 Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal direct, on considère deux points distincts I et J. Pour tout point M(x, y, z) de l’espace, on a :

 

  1. Si alors M appartient à la droite (IJ)
  2. Si alors M appartient à la droite (IJ)
  3. Si a pour coordonnée (1, 0, 0) alors M n’appartient pas à la droite (IJ)