Devoir Maison n°4
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Pour Lundi 18 Janvier

T S1

Devoir à la Maison n°4

 

Soit (Cp) la courbe représentative dans un repère orthonormal (O,;) de la fonction fp définie sur R, pour tout p entier relatif non nul, par :

fp(x) = xp.ln |x|, si x¹ 0, et fp(0) = 0.

 

Partie A.

1°) Étudier, suivant les valeurs de p, la continuité et la dérivabilité de fp en 0.

2°) Étudier la parité de fp.

Calculer f’p(x) pour tout xÎ R*.

3°) a) Calculer la limite de fp quand x tend vers +¥ .

b) Etudier les variations de fp. (on distinguera cinq cas suivant les valeurs et la parité de p).

4°) Montrer que toutes les courbes (Cp) passent par un point fixe et admettent la même tangente en ce point.

5°) Donner l’allure des courbes (C1) et (C-2) . On fera deux figures différentes, et l’on prendra 2 cm comme unité.

 

Partie B.

On considère la fonction g = f1 o sin. On a donc :

g(x) = sin x. ln |sin x|, si x ¹ kp , et g(kp ) = 0.

 1°) Étudier la continuité et la dérivabilité de g en 0.

2°) Montrer qu’il existe un seul x0 Î tel que : sin x0 = .

3°) Étudier les variations de g en précisant la période et la parité; puis tracer la courbe représentative de g sur une période, dans un repère (O,;) (unité : 2 cm).

 

Partie C

On considère la suite (un) définie par u0 et pour tout nÎ N, un+1 = f1(un).

 1°) Étudier (un) dans le cas où u0 = 0; u0 = e; u0 = -e.

2°) Si u0 = ou u0 = , montrer que (un) est une suite géométrique. Est-elle convergente ?

3°) On se place dans le cas où |u0| > e.

a) Si u0 > e, montrer que u1 > u0 > e et, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout nÎ N*, un > un-1 > e.

b) Si u0 < -e, montrer que u1 < u0 < -e et, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout nÎ N*, un < un-1 < -e.

Dans ces cas a) et b) montrer que |un| ³ |u0|.( ln |u0| )n.

La suite (un) est-elle convergente ?

4°) On se place dans le cas où 0 <u0 < .

a) Montrer que et (kÎ N).

b) On suppose u0 = 0,2 ; calculer u1 , u2 , u3 et en déduire que (u2k) est croissante et que (u2k+1) est décroissante.

Dans ce cas b) que peut-on, en déduire pour les suites (u2k), (u2k+1) et (un) ?