Devoir Maison n°3
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Pour le lundi 16 novembre 1998

Term S1

Devoir à la Maison n°3

 

I/ Etude d’un famille de fonctions

 Étudier suivant les valeurs de n(nÎ N*),  la fonction fn définie par :

Tracer la courbe représentative de fn pour n = 1, n = 2 et pour n = 3.

 

II/ La fonction arctan.

 Soit f la fonction tangente définie sur  : f(x) = tan x.

Soit g la fonction arctan définie sur R par : g(x) = f –1(x).

 1°) Justifier que g est dérivable sur R. Écrire la dérivée de la fonction fog de deux manières différentes et en déduire l’expression de g’(x).

2°) Démontrer que sur [0 ; 1], on a :

3°) En 1673, Gottfried Wilhem Leibniz utilisa la relation : p = 4.arctan 1

pour calculer une valeur approchée de p .

a) Justifier cette relation.

b) Quel encadrement de p obtient-on avec l’inégalité précédente ?

c) Généraliser la formule établie au 2°).

Que faut-il alors calculer pour obtenir un encadrement de p d’amplitude 10-2 ?

(Programmer sa calculatrice !!!)

   

III/ Formule de Machin.

 1°) Donner la forme cartésienne du nombre complexe : (5 – i)4.(1 + i)

2°) On note a et b les réels uniques définis par :

0 < a < , tan a = et 0 < b < , tan b =

Démontrer que 16a – 4b = p .

3°) Quelle approximation obtient-on pour p en utilisant le résultat du II/-2°) ?

 

Remarque : C’est cette formule qui permit, en 1706, à John Machin de calculer les 100 premières décimales de p .