Devoir Maison n°1
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Pour le lundi 5 octobre 1998

Term S1

Devoir à la Maison n°1

 

I/ Linéariser cos(2n).

 On considère les polynômes Pn de la variable réelle x, tels que:

P0(x) = 2, P1(x) = x +

et pour tout entier n>1 : Pn(x) - Pn-1(x) + Pn-2(x) = 0

1°) Former P2(x), P3(x) et P4(x).

2°) Démontrer,par récurrence, que pour tout entier n, le polynôme Pn est de degré n, et donner l’expression de son terme de plus haut degré.

3°) On suppose : -1 £ x £ 0, et on pose : x = - cos2 a .

Etablir la relation :

Pn(- cos2 a ) = (-1)ncos(2na ).

En déduire l’expression de cos(6a ) et de cos(8a ) en fonction de cos a .

 

II/ Une équation trigonométrique.

 On se propose de résoudre, suivant les valeurs du réel l , l’équation :

cos2x + cos22x + cos23x = l (El ). 

A. Résolution dans des cas particuliers.

 1. Résolvez l’équation (El ) dans chacun des cas suivants:

a. l > 3. b. l < 0. c. l = 0. d. l = 3.

2. Résolvez l’équation (E1).

 B. Résolution graphique.

 Soit f la fonction définie sur R par :

f(x) = cos2x + cos22x + cos23x.

et C sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

 1. Par des considérations de parité et de périodicité, montrez que l’on peut réduire son ensemble d’étude à l’intervalle .

2. Vérifiez que f’(x) peut s’écrire:

f’(x) = sin 2x.P(cos 2x), où P est un polynôme de degré 2.

3. Etudier f sur . Tracer C sur , puis en entier.

4. Résolvez graphiquement l’équation (El ) et retrouvez les résultats de la partie A.