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Vendredi 19 février 1999 Term S1-4

 

Devoir de Mathématiques (3h)

(Calculatrices autorisées)

 

 Exercice 1

 Soient A et B deux points distincts de l’espace et I le milieu de [AB]

 1°) Démontrer que, pour tout point M de l’espace :

et

 2°) En déduire l’ensemble des points M de l’espace tels que :

 3°) Soient les points A(1 ;1 ;0), B(0 ;1 ; ;1) et M(2 ;2 ;2) de l’espace muni d’un repère orthonormal direct (O ; )

  1. Vérifier que : .
  2. Calculer MA et MB.

 

Exercice 2

 A tout nombre complexe z non nul, on associe dans le plan orienté, rapporté au repère orthonormal (O ; ), les points A, B, C d’affixes respectives :

a = z, b = , c =  

1°) On note r le module de z et q un argument de z. Exprimer en fonction de r et de q le module et l’argument de b et c.

 2°) Comment faut-il choisir z pour que les points A, B, C soient distincts deux à deux ?

Dans la suite de l’exercice on supposera cette condition réalisée.

 3°) a) Démontrer que les points A, B, C appartiennent à un même cercle de centre O.

b) Démontrer que AB = AC.

c) Le point A étant donné, indiquer une construction géométrique des points B et C. Justifier et réaliser cette construction en prenant : z = 3 + 2i.

4°) Démontrer que l’angle a pour mesure q ou q + p .

 

Problème

 Remarque : Les parties B et C du problème sont indépendantes.

 On désigne par f1 la fonction définie sur R par :

f1(x) = ln(ex + 1)

 

Partie A. Etude de la fonction f1.

1°) a) Calculer les limites de f1 en +¥ et en -¥ .

b) Etudier les variations de f1 et construire son tableau de variations.

 2°) Démontrer que pour tout réel x : f1(x) = x + ln(e-x + 1)

En déduire que la courbe (C1) représentative de f1, admet deux droites asymptotes dont la droite (D ) d’équation : y = x.

Déterminer la position de (C1) par rapport à chacune d’elles.

 3°) Construire la droite (D ) et la courbe (C1) dans un repère orthonormal (O ; ). (unité : 2 cm)

 

Partie B. Approximation de f1 par une fonction polynôme.

 On désire approcher f1 par une fonction polynôme sur l’intervalle [0 ;1].

A cet effet, on considère la fonction g définie sur [0 ;1] par :

1°) a) Etudier les variations de la fonction g’ (dérivée de g) sur l’intervalle [0 ;1]. En déduire le signe de g’(x).

b) Etudier les variations de la fonction g sur l’intervalle [0 ;1] et en déduire le signe de g(x).

 2°) Démontrer que, pour tout x de [0 ;1] : 0 £ g(x) £ 5.10-3.

Conclure.

 

Partie C. Etude géométrique d’une famille de courbes.

 1°) k étant un nombre réel non nul, on désigne par Dk l’ensemble des solutions dans R de l’inéquation : ex + k > 0.

  1. Selon k, déterminer Dk. (On distinguera les cas k>0 et k<0)

A tout réel k, on associe la fonction notée fk définie pour xÎ Dk, par :

fk(x) = ln(ex + k).

On désigne par (Ck) sa courbe représentative dans le repère orthonormal (O ; ).

b) Etablir le tableau de variations de fk pour chacun des cas : k>0 et k<0.

En déduire que pour tout réel non nul k, l’image par f de Dk est D-k.

 2°) a) Démontrer que si k>0, alors : pour tout réel x,

fk(x + ln k) = f1(x) + ln k.

b) En déduire que si k>0, alors la courbe (Ck) représentative de la fonction fk se déduit de (C1) par une transformation géométrique simple que l’on justifiera. Construire sans calcul la courbe (C2) représentative de f2 dans le repère (O ; ).

 3°) (D ) étant la droite d’équation y = x, on désigne par SD la symétrie orthogonale d’axe (D ). On admettra que SD associe à tout point M de coordonnées (x, y) le point M’ de coordonnées (y, x) dans le repère orthonormal (O ; ).

a) Démontrer que, pour tout réel x de Dk et pour tout réel y de D-k : Le point M de coordonnées (x, y) est un point de (Ck) si et seulement si le point M’ de coordonnées (y, x) est un point de (C-k).

b) Donner une interprétation géométrique de ce résultat.

Construire sans calcul la courbe (C-1) représentative de f-1 dans le repère (O ; ).