Devoir n°4
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Vendredi 29 janvier 1999

Term S1-4

 Devoir de mathématiques (3h)

(Calculatrice autorisée)

 

I/ Exercice (6 points)

 Dans un repère orthonormal direct de l’espace (O ;), on considère les points :

A(1 ;2 ;3), B(3 ;2 ;1), C(3 ;0 ;3), D(1 ;2 ;1) et E(3 ;1 ;1)

 1°) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC)

 2°) Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite (DE)

 3°) Déterminer les coordonnées du point F intersection de la droite (DE) avec le plan (ABC)

 4°) Soit K le point de coordonnées K(5 ;0 ;1)

a) Démontrer que BAK est un triangle isocèle.

b) Déterminer une mesure en radians de l’angle

 

II/ Problème (Antilles 1994) (14 points)

 Partie A

 On considère la fonction g définie sur ]0 ;+¥ [ par :

g(x) = x3x + 1 – 2.ln x

où ln désigne le logarithme népérien.

 1°) Démontrer que et étudier le sens de variation de g (on ne demande pas le calcul des limites en 0 et +¥ ).

2°) En déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x.

 Partie B

 On considère la fonction f définie sur ]0 ; +¥ [ par :

On appelle (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O ;) du plan (unité graphique : 2 cm).

 1°) a) Déterminer la limite de f(x) quand x tend vers 0.

b) Démontrer que tend vers 0 quand x tend vers +¥ .

En déduire la limite de f(x) quand x tend vers +¥ .

c) Justifier que les droites (D) et (D ) d’équations respectives : x = 0 et y = x + 1 sont asymptotes à la courbes (C).

 2°) Etudier le sens de variation de f.

 3°) En déduire que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution a . Déterminer un encadrement de a d’amplitude 10-1.

 4°) a) Démontrer que la fonction h définie par :

h(x) = x + ln x

est strictement croissante sur ]0 ; +¥ [.

b) En déduire que (D ) coupe (C) en un point unique d’abscisse b vérifiant : b + ln b = 0.

Démontrer que 0,56 < b < 0,57.

c) Déterminer la position de (C) par rapport à (D ).

 5°) Construire (C) et (D ).

 6°) Soit u la fonction définie sur ]0 ; +¥ [ par :

Déterminer la fonction dérivée de la fonction u et en déduire l’aire en cm2 de la partie du plan délimitée par les courbes (C) et (D ), et les droites d’équations x = 1 et x = e.