Devoir n°3
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Vendredi 27 novembre 1998

Term S1-4

 Devoir de mathématiques (2h)

 

I/ Exercice - Bac S, Juin 1996. ( 8 points)

 Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct , unité graphique : 4 cm, on considère les points A, B et C d’affixes respectives a, b et c telles que :

a = 1 – i, b = 1 + i c = -1 + i = -a.

On note G le cercle de diamètre [AB].

 1°) a) Placer sur une figure les points A, B, C et le cercle G .

b) Mettre les nombres complexes a, b et c sous forme trigonométrique.

c) Soit r la rotation de centre O telle que r(A) = B.

Déterminer l’angle de r et le point r(B), image de B par r.

d) Déterminer l’image G ’ du cercle G par ; placer G ’ sur la figure.

 2°) On considère un nombre q Î ]0 ; 2p [ distinct de p  ; on note M le point d’affixe z = 1 + ieiq .

On désigne par M’ l’image de M par r, et on appelle z’ l’affixe de M’.

a) Montrer que M est un point de G distinct de A et de B.

b) Exprimer z’ en fonction de z.

Calculer en fonction de q les affixes u et u’ des vecteurs et .

c) Etablir la relation : u = u’ tan .

d) Prouver que les points B, M et M’ sont alignés.

Placer sur la figure un point M et son transformé M’.

…/…

 II/ Problème. ( 12 points)

 Le plan est rapporté à un repère orthonormal  : unité 5 cm. Soit C la courbe dont une équation dans le repère est : x (x2 + y2) + y2 – 3x2 = 0

 1°) Soit f la fonction définie sur ]-1 ; 3] par :

Montrer que C est la réunion des courbes C1 et C2 représentatives des fonction f et –f.

 2°) a) Déterminer : et

b) f est-elle dérivable en 0 ?

c) Interpréter géométriquement les résultat du a).

 3°) Déterminer . Que peut-on en déduire ?

 4°) a) Monter que sur ] -1 ; 0 [ È ] 0 ; 3 [,

puis étudier son signe.

b) Calculer . Interpréter géométriquement ce résultat.

c) Dresser le tableau de variation de f. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 10-2 près du maximum relatif de f.

 5°) Tracer la courbe C1, puis compléter avec une autre couleur pour obtenir la courbe C en entier.