Bac Blanc n°1
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Décembre 1998

Term. S

Bac Blanc I

Mathématiques (4h)

(Calculatrice autorisée)

  

 

Exercice 1 (4 points)

 Partie A

1°) a) Résoudre dans C l’équation suivante :

z2 – 6.cosz + 9 = 0.

On notera z1 et z2 les solutions trouvées, z1 étant la solution de partie imaginaire positive.

b) Déterminer le module et un argument de z1 et de z2 et donner l’écriture exponentielle de z1 et de z2.

 2°) Placer dans le plan P rapporté à un repère orthonormal direct d’unité graphique 1 cm, les images M1 et M2 de z1 et de z2.

Expliquer pourquoi M1 et M2 sont situés sur le cercle G de centre O et de rayon 3, que l’on tracera.

 Partie B

On considère la transformation f du plan P qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ telle que :

.

On considère les points A et B d’affixes et et A’ et B’ leurs image par f.

 1°) Montrer que f est une rotation dont on précisera le centre et l’angle.

 2°) Déterminer, sous forme exponentielle, les affixes zA’ et zB’ des points A’ et B’. Placer les points A, B, A’ et B’ sur la figure.

Expliquer pourquoi ces points sont sur le cercle G .

 3°) Calculer arget montrer que B et A’ sont symétriques par rapport au point O.

En déduire que le triangle ABA’ est rectangle.

 

Exercice 2. (4 points)

 

 (Spécialité Physique ou S.V.T.)

Soient ABCD un quadrilatère, G le centre de gravité du triangle ABC, I le milieu de [AB], J le milieu de [BC], K le barycentre de {(C, 1) ; (D, 3)} et L le barycentre de {(A, 1) ; (D, 3)}.

 1°) Placer K et L.

2°) Soit O le barycentre de {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)}. Montrer que les droites (IK), (JL) et (GD) sont concourantes en O et préciser la position de O sur (GD).

3°) Déterminer l’ensemble C des points M du plan tels que : Tracer C.

 

 (Spécialité  Mathématiques)

bulletDéfinition :

On définit le PPCM de trois entiers a, b et c comme étant le plus petit multiple commun aux entiers a, b et c :

bulletPropriété :

PPCM(abc) = PPCM( PPCM(ab), c)

 1°) Déterminer, en justifiant, PPCM(3, 4, 5) et PPCM(36, 48, 60)

2°) Soient a, b, c trois nombres premiers entre eux deux à deux.

a) Montrer que : PPCM(abc) = abc.

b) Déterminer tous les triplets (a, b, c) tels que :

a £ b £ c et PPCM(a, b, c) = 60.

3°) Résoudre dans N3 le système suivant :

 

Problème (12 points)

 Soit f la fonction définie sur par :

A. Etude de f.

 1°) Démontrer que f’ est définie sur par :

 2°) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation complet.

 3°) Soit (C) la courbe représentative de f.

a) Démontrer que (C) admet deux asymptotes dont l’une est la droite (D) d’équation : y = + 1.

Préciser la position relative de (C) et de (D).

b) Construire (C) dans un repère orthonormal , unité graphique : 4 cm.

 4°) Calculer, en cm2, l’aire du domaine plan délimité par (C), (D) et les droites d’équation x = 1 et x = 2.

 B. Résolution approchée de l’équation : f(x) = x.

 1°) Soit g la fonction définie sur par : g(x) = f(x) – x.

Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution a et que a Î [1 ; 2].

 2°) Démontrer que, pour tout xÎ [1 ; 2], on a : | f’(x) | £ 0,1.

 3°) Soit (un) la suite définie par :

a) Démontrer que pour tout xÎ [1 ; 2],on a : f(x)Î [1 ; 2].

b) Démontrer par récurrence que, pour tout nÎ N, 1 £ un £ 2.

c) En utilisant l’inégalité des accroissements finis, démontrer que : | un+1 - a | £ 0,1 | un - a |

puis que : | un - a | £ 10-n.

En déduire .

d) Déterminer une valeur approchée de a à 10-3 près.