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Septembre 1998

2nde1

 Exercices de Recherche - n°1

 

Exercice 1

Calculer A =

  

Exercice 2

1°) Calculer x1 = 1² - 0² ; x2 = 2² - 1² ; x3 = 3² - 2².

2°) Quelle conjecture peut-on émettre ? La démontrer.

 

Exercice 3

 Étant donné un entier naturel n, on pose p = n(n + 3).

1°) Exprimer le produit (n + 1)(n + 2) en fonction de p.

2°) Exprimer le produit n(n + 1)(n + 2)(n + 3) en fonction de p.

3°) En déduire que lorsqu’on augmente de 1 le produit de quatre entiers consécutifs, on obtient un carré parfait.

4°) Application numérique:

de quel nombre entier, le nombre 24´ 25´ 26´ 27 + 1 est-il le carré ? et 1996´ 1997´ 1998´ 1999 + 1 ?

 

Exercice 4

 1°) Calculer, en utilisant la calculatrice (préciser le modèle de calculatrice utilisé)

A = 123 456² - 123 455´ 123 457

B = 456 789² - 456 785´ 456 793

C =123 456 789² - 123 456 787´ 123 456 791.

2°) Donner les résultats exacts. pour cela, dans chaque expression :

- appeler x le premier nombre,

- exprimer les deux autres en fonction de x,

- écrire plus simplement l’expression en fonction de x, en développant.

3°) Calculer

D=123 456 789 010² - 123 456 789 009´ 123 456 789 011

 

Exercice 5

Calculer et .

Que remarque-t-on ?

Le démontrer dans le cas général avec et a est un rationnel positif non nul.

 

Exercice 6

 Comment calculer x15 en n’effectuant que cinq multiplications ?

Quel est le nombre minimal de multiplications à effectuer pour calculer x13 ?

 

Exercice 7

 1°) Écrire les inverses des nombres suivants sans radical au dénominateur :

; ;

2°) D’une manière générale, que vaut l’inverse de (le démontrer).

 

Exercice 8

 1°) Calculer en déduire une simplification de

2°) En utilisant une méthode analogue au 1°) simplifier les expressions suivantes :

; ; ;